Прямая линия в однородных координатах и проективное пространство

Прямая линия на плоскости может быть задана уравнением:

,

где А, В - произвольные числа, которые не могут равняется нулю одновременно. Вектор (А, В) - называется нормальным вектором прямой, который является перпендикулярным к прямой. При С=0 прямая проходит через начало координат.

Эта прямая может быть заданна вектором:

Соответствие между этим вектором и прямой определяется с точностью до k≠0. т.к. прямые Ax+By+C=0 и (kA)x+(kB)y+C=0 являются эквивалентными и векторы (A, B, C) и k(A, B, C) так же являются эквивалентными. Тогда мы можем говорить о некотором классе эквивалентности между вектором и прямой. Из этого класса исключается вектор (0, 0, 0) который не соответствует ни одной прямой.  

Для того что бы точка X=(x, y) принадлежала прямой l=(A, B, C) необходимо и достаточно что бы Ax+By+C=0. Это может быть записано в терминах скалярного произведения векторов, если X это точка в однородных координатах:

Это удобно вычислять при программировании используя матрицы. Т.е.:

Для того что бы узнать точку пересечения x для двух прямых l и l' необходимо найти векторное произведение этих двух прямых, результатом которого и будет искомая точка X:

А для того что бы построить прямую линию l проходящую через две точки x и x', необходимо вычислить векторное произведение:

Попробуем найти пересечение двух параллельных прямых  и . Найдем их векторное произведение:

Т.е. мы получили точку лежащую на бесконечности в направлении (b,-a), что соответствует действительности.
Вектор в однородных координатах , соответствует точке из двухмерного пространства .  Если   дополнить точками где последняя координата , то мы получим так называемое проективное пространство . Точки где последняя координата , называются идеальными точками или точками на бесконечности.